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Exercícios de Matemática do 2º ano do ensino médio
140 questões de Matemática do 2º ano do ensino médio, cada uma com a resposta e a explicação passo a passo. Aqui estão 120, organizadas por tema.
Trigonometria: triângulos e funções periódicas
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Uma escola construiu uma rampa de acesso para cadeirantes. A rampa tem 8 m de comprimento e forma um ângulo de 30° com o chão horizontal…
Conversão entre graus e radianos
Em um aplicativo de edição de imagens, uma figura girou 135°. O aplicativo, porém, mostra os ângulos em radianos. Qual valor o aplicativo…
Comprimento de arco
Uma pizza circular tem 30 cm de raio. Ela foi cortada em fatias iguais, e o ângulo central de cada fatia mede π/3 rad. Qual é o…
Funções seno e cosseno: máximo e mínimo
A temperatura no interior de uma estufa de plantas, em graus Celsius, varia ao longo do dia de acordo com a função T(t) = 20 +…
Funções seno e cosseno: período
Um sinal elétrico estudado em um laboratório de Física é descrito pela função V(t) = 5·cos(t/2), em que t é o tempo em segundos. Qual é o…
Relação fundamental da trigonometria
Uma escada está encostada em um muro e forma com o chão um ângulo agudo x. Sabe-se que sen x = 3/5. Qual é o valor de cos x?
Arcos côngruos
Em uma apresentação, uma patinadora girou 1110° sem parar, sempre no mesmo sentido. Qual é a menor determinação positiva do arco côngruo a…
Equações trigonométricas
Ao estudar uma onda descrita por y = sen x, um estudante quer saber em quais valores de x a onda tem altura y = 1/2. Ele considera apenas…
Lei dos senos
Um terreno tem a forma de um triângulo ABC. O ângulo em A mede 30° e o ângulo em B mede 45°. O lado oposto ao ângulo A mede 6 m. Qual é a…
Lei dos cossenos
Dois barcos saem ao mesmo tempo do mesmo porto, cada um seguindo em linha reta. Depois de algum tempo, um está a 5 km do porto e o outro…
Área do triângulo com seno
Um jardim triangular tem dois lados com 6 m e 8 m, e o ângulo entre eles mede 60°. O jardim será todo coberto com grama, que custa R$…
Relação fundamental e sinais nos quadrantes
Em um aplicativo de geometria, um ponto do ciclo trigonométrico corresponde a um ângulo x do 2º quadrante. O aplicativo informa que sen x…
Redução ao 1º quadrante
Numa revisão para a prova, um professor pediu aos alunos que calculassem o valor da expressão E = sen 210° + cos 300°, usando a redução ao…
Equações trigonométricas
Na aula de Matemática, a professora pediu para a turma resolver a equação cos x = −1/2, com x no intervalo [0, 2π]. Qual é a soma de todas…
Modelagem de fenômenos periódicos
A altura, em metros, de uma cabine de roda-gigante em relação ao chão é dada por h(t) = 12 − 10·cos(πt/5), em que t é o tempo em minutos…
Modelagem de fenômenos periódicos
Em um porto, a profundidade da água, em metros, varia com a maré segundo a função P(t) = 3 + 2·sen(πt/6), em que t é o número de horas…
Modelagem de fenômenos periódicos
A pressão arterial de uma pessoa em repouso, em mmHg, pode ser modelada por P(t) = 100 − 20·cos(8πt/3), em que t é o tempo em segundos…
Lei dos senos
Três postes de iluminação A, B e C ficam sobre o contorno de uma pista circular. A distância em linha reta entre os postes B e C é de 10…
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
De um ponto no chão plano, uma estudante vê o topo de uma torre sob um ângulo de elevação de 30°. Ela anda 20 m em linha reta em direção à…
Lei dos cossenos
Três cidades são ligadas por estradas retas e formam um triângulo. As estradas medem 3 km, 5 km e 7 km. Qual é a medida do ângulo formado…
Modelagem de fenômenos periódicos
Em uma cidade, a temperatura ao longo do dia, em °C, é modelada por T(t) = a + b·cos(πt/12), com b > 0 e t medido em horas a partir do…
Modelagem de fenômenos periódicos
Uma roda-gigante tem 15 m de raio, e seu centro fica a 17 m do chão. Ela gira com velocidade constante e dá uma volta a cada 8 minutos…
Equações trigonométricas
Ao analisar a posição de uma onda, um estudante chegou à equação 2·sen²x − sen x − 1 = 0, com x no intervalo [0, 2π]. Qual é a soma de…
Funções seno e cosseno: amplitude e imagem
Um bloco preso a uma mola oscila para cima e para baixo. Sua posição, em centímetros, é dada por f(t) = 1 − 3·cos(2t), com t em segundos…
Sequências, matrizes e sistemas lineares
Sequências numéricas: lei de recorrência
Um aplicativo de exercícios define a meta diária de abdominais por uma regra de recorrência. No 1º dia, a meta é 2 abdominais. A partir…
PA como função afim de domínio discreto
Um estacionamento cobra R$ 8,00 pela 1ª hora e R$ 3,00 por hora adicional. Seja aₙ o valor total pago por n horas (n inteiro positivo). Os…
PA: termo geral e razão
Em um jogo de celular, a pontuação mínima para passar de cada fase forma uma progressão aritmética. A fase 3 exige 11 pontos, e a fase 8…
PA: termos equidistantes e soma
Nove caixas de uma mudança têm massas que formam uma progressão aritmética, da mais leve para a mais pesada. A soma das massas da 2ª e da…
PA: interpolação aritmética
Um ciclista quer aumentar seu treino semanal de 5 km para 30 km. Ele vai treinar 5 km na 1ª semana, 30 km na 6ª semana e, entre elas…
PA: soma dos n primeiros termos (fileiras de plateia)
Um teatro da escola será montado com 360 lugares. A 1ª fileira terá 10 cadeiras, e cada fileira seguinte terá 2 cadeiras a mais do que a…
PA como função afim de domínio discreto
Em uma progressão aritmética, os pontos (n, aₙ), com n inteiro positivo, pertencem à reta y = 4x − 3. Ou seja, a PA corresponde à função…
PA: soma e termo geral em contexto
Um estudante leu um livro de 450 páginas em exatamente 12 dias. No 1º dia, leu 10 páginas e, a cada dia, leu sempre a mesma quantidade de…
PG: razão e classificação (crescente ou decrescente)
Um estudo sobre uma população de peixes em um lago modela a quantidade de peixes no ano n por Pₙ = 800·(3/4)ⁿ⁻¹, com n = 1, 2, 3…
PG: decrescimento (desvalorização)
Um celular novo custa R$ 2 000,00 e perde 10% do seu valor a cada ano, sempre em relação ao valor do ano anterior. Os valores do aparelho…
PG: soma finita
Para divulgar um aplicativo de estudos, uma pessoa envia, no 1º dia, um convite para 3 amigos. No dia seguinte, cada amigo que recebeu o…
PG: soma infinita convergente
Uma equipe pinta um mural. No 1º dia, pinta 6 m² e, em cada dia seguinte, pinta 1/3 da área pintada no dia anterior. Imagine que esse…
PG: soma infinita convergente em modelagem
Uma bola é solta de uma altura de 8 m. Cada vez que toca o chão, ela sobe até metade da altura da qual caiu e cai novamente, e assim por…
PG como função exponencial de domínio discreto
Um vídeo foi compartilhado 3 vezes no 1º dia, e o número de compartilhamentos diários dobrou a cada dia. Assim, o número de…
PG: termos e razão com modelagem
Três caixas de figurinhas têm quantidades que formam uma progressão geométrica crescente. O produto das três quantidades é 216 e a soma é…
Matrizes: representação de tabelas
As vendas de uma papelaria em um sábado foram organizadas na matriz A = [[12, 8, 5], [10, 6, 9]]. A linha 1 representa a loja do centro e…
Matrizes: igualdade
Duas planilhas de pontuação de um campeonato escolar devem ser idênticas. Elas foram representadas pelas matrizes A = [[x + y, 3], [2, x −…
Matrizes: transposta, adição e multiplicação por escalar
Em um jogo de tabuleiro digital, as matrizes A = [[1, 2], [0, 3]] e B = [[4, −1], [2, 5]] guardam bônus de dois jogadores. O programa…
Matrizes: produto de matrizes em contexto
Uma lanchonete registra pedidos na matriz Q = [[2, 1], [3, 2]]: a linha 1 é o pedido 1 e a linha 2 é o pedido 2; a coluna 1 indica a…
Matriz identidade e inversa 2×2
Um aplicativo de mensagens codifica textos com a matriz A = [[3, 5], [1, 2]]. Para decodificar, é preciso usar a matriz inversa A⁻¹, que…
Determinantes 3×3: regra de Sarrus
Um programa de controle de estoque usa o determinante da matriz M = [[1, 2, 0], [3, 1, 2], [0, 1, 1]] para verificar se uma tabela de…
Sistemas lineares 2×2: problema de preços
Em uma papelaria, 3 cadernos e 2 canetas custam, juntos, R$ 31,00. Já 1 caderno e 1 caneta custam, juntos, R$ 12,00. Todos os cadernos têm…
Sistemas lineares 2×2: problema de idades
Hoje, a soma das idades de dois irmãos é 30 anos. Há 3 anos, a idade do irmão mais velho era o dobro da idade do mais novo. Qual é a idade…
Sistemas lineares 2×2: problema de misturas
Para uma festa da turma, será preparada uma mistura de 10 litros de refresco. Serão misturados dois tipos: o tipo A tem 20% de suco…
Sistemas lineares: classificação (SPD, SPI, SI)
Um grupo de amigos modelou a compra de pacotes de figurinhas com o sistema x + 2y = 4 e 2x + 4y = m, em que m é um número real. Para quais…
Sistemas lineares 3×3: resolução por substituição ou escalonamento
Na cantina da escola, s é o preço de um sanduíche, j o de um suco e d o de uma sobremesa, em reais. Sabe-se que: s + j + d = 20; 2s + j +…
Sistemas lineares: classificação com parâmetro e determinante
Um software de engenharia resolve o sistema x + ay = 1 e ax + 4y = 2, em que a é um parâmetro real. O determinante da matriz dos…
Análise combinatória e probabilidade
Princípio fundamental da contagem
Uma lanchonete da escola monta combos com um pão, um recheio e uma bebida. Há 4 tipos de pão, 3 tipos de recheio e 2 tipos de bebida…
Princípio fundamental da contagem
Um aplicativo de estudos pede que o usuário crie uma senha formada por 3 algarismos, escolhidos de 0 a 9. A regra é que os três algarismos…
Princípio aditivo
No contraturno, cada estudante deve se inscrever em exatamente uma atividade extra. A escola oferece 5 esportes, 4 oficinas de arte e 3…
Fatorial e simplificação
Ao resolver um problema de contagem, um estudante chegou à expressão (10! − 9!) / 8!. Antes de seguir, ele quer simplificar essa expressão…
Permutações simples e anagramas
Em um jogo de palavras, os participantes devem formar todos os anagramas da palavra PRATO. Um anagrama é qualquer sequência que use as 5…
Permutações simples e anagramas
A palavra CADERNO tem 7 letras, todas diferentes. Uma professora pediu que os alunos contassem apenas os anagramas dessa palavra que…
Permutações com restrições
Considere os anagramas da palavra LIVRO, cujas 5 letras são todas diferentes. Deseja-se contar apenas os anagramas em que as vogais I e O…
Permutações com repetição
Em um desafio de palavras, uma turma precisa descobrir quantos anagramas diferentes podem ser formados com a palavra BANANA. Nessa…
Permutações com repetição em malhas
Um robô de entregas circula em um bairro com ruas que formam uma malha quadriculada. Para ir do ponto de partida até o destino, ele…
Arranjos simples
Na final de uma corrida escolar, 8 atletas disputam as medalhas de ouro, prata e bronze. Não há empates, e cada atleta pode receber no…
Combinações simples
Um professor precisa formar uma comissão de 3 alunos para organizar a feira de ciências. Ele vai escolher entre 8 alunos voluntários, e…
Combinações simples: diagonais de polígonos
O piso de uma praça tem o formato de um polígono convexo de 12 lados. Para decorar o espaço, serão esticadas fitas ligando cada par de…
Combinações com restrições
Um grupo de teatro tem 5 meninas e 4 meninos. Para uma apresentação, será escolhida uma equipe de 4 pessoas, com exatamente 2 meninas e 2…
Combinações com restrições
Uma escola vai montar uma comissão de 3 professores para revisar o currículo. Os candidatos são 6 professores da área de exatas e 4…
Combinações simples: apostas
Em uma loteria, a aposta simples consiste em escolher 6 números diferentes. O apostador também pode marcar 8 números em um mesmo cartão…
Espaço amostral e probabilidade clássica
Em um jogo de tabuleiro, um jogador lança dois dados comuns, de seis faces numeradas de 1 a 6, e soma os resultados das faces voltadas…
Evento complementar
Em uma urna há 10 bolas idênticas, a não ser pela cor: 5 azuis, 3 vermelhas e 2 verdes. Uma bola será sorteada ao acaso. Qual é a…
Probabilidade da união de eventos
Em uma gincana, 30 cartões numerados de 1 a 30 são colocados em uma caixa, e um deles é sorteado ao acaso. A equipe ganha um ponto se o…
Evento complementar
Em uma gincana da escola, três amigos lançam, cada um, uma moeda honesta, que tem a mesma chance de dar cara ou coroa. A equipe ganha um…
Experimentos sucessivos sem reposição
Uma caixa contém 10 bombons de mesmo formato: 4 de morango e 6 de chocolate. Uma pessoa retira ao acaso um bombom, não o devolve, e em…
Eventos independentes
Uma jogadora de basquete acerta 80% dos lances livres que cobra. Em uma partida, ela vai cobrar dois lances livres seguidos, e o resultado…
Probabilidade condicional
Uma pesquisa foi feita com 200 alunos de uma escola. Desses, 80 são do 2º ano, e 50 deles vão de bicicleta para a escola. Entre os outros…
Tomada de decisão: testes diagnósticos
Em um grupo de 1000 pessoas de uma cidade, 10% têm certa doença. Um teste rápido dá resultado positivo para 90% das pessoas doentes. Entre…
Tomada de decisão: eficácia de tratamentos
Um médico apresenta duas opções de tratamento a um paciente. O tratamento A tem uma única aplicação, com 70% de chance de cura. O…
Tomada de decisão: jogos de azar
Em uma festa junina, uma roleta está dividida em 8 setores iguais, e 2 deles dão prêmio. Cada participante pode girar a roleta 3 vezes, e…
Probabilidade com combinações
Uma turma tem 10 alunos interessados em participar de uma olimpíada: 6 meninas e 4 meninos. Serão sorteados 3 desses alunos, todos ao…
Geometria espacial: áreas e volumes
Poliedros: relação de Euler
Uma bola de futebol tradicional pode ser modelada como um poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais. Cada…
Poliedros: relação de Euler
Um estudante modelou no computador uma peça para impressão 3D com o formato de um poliedro convexo. O programa informou que a peça tem 8…
Prismas e paralelepípedos: área total
Uma fábrica produz caixas de papelão fechadas no formato de paralelepípedo retângulo, com 20 cm de comprimento, 10 cm de largura e 5 cm de…
Mais questões
Álgebra
Quanto é $2^3 + 3^2$?
Álgebra
Simplifique a fração $\frac{6}{8}$.
Álgebra
Qual o valor de $\sqrt{144}$?
Álgebra
Resolva a equação $5x = 20$.
Álgebra
Quanto é $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$?
Álgebra
Qual o valor de $(-3)^2$?
Álgebra
Simplifique $\frac{x^5}{x^2}$.
Álgebra
Qual o valor de $\sqrt[3]{27}$?
Álgebra
Quanto é $5! $ (fatorial de 5)?
Álgebra
Qual o módulo $|-7|$?
Funções
As raízes de $x^2 - 5x + 6 = 0$ são:
Funções
O discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ de $x^2 + 2x + 1$ vale:
Funções
O vértice da parábola $f(x) = x^2 - 4x + 3$ é o ponto:
Funções
Quanto vale $\log_2 8$?
Funções
Se $f(x) = 3x + 2$, então $f(5)$ é igual a:
Funções
Quanto vale $\log_{10} 1000$?
Funções
Resolva $2^x = 16$.
Funções
Pela fórmula de Bhaskara, $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. Em $x^2 - 7x + 12 = 0$, as raízes são:
Cálculo
Quanto vale $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$?
Cálculo
A derivada de $f(x) = x^3$ é:
Cálculo
Quanto vale $\int 2x \, dx$?
Cálculo
Quanto vale o somatório $\sum_{i=1}^{4} i$?
Cálculo
A derivada de $\sin x$ é:
Cálculo
Quanto vale $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$?
Cálculo
Quanto vale $\int_0^1 x \, dx$?
Cálculo
A derivada de $e^x$ é:
Cálculo
A fórmula da soma dos $n$ primeiros naturais é $\sum_{i=1}^{n} i =$
Cálculo
A derivada de $\cos x$ é:
Geometria e Trigonometria
Quanto vale $\sin 30^\circ$?
Geometria e Trigonometria
Quanto vale $\cos 0^\circ$?
Geometria e Trigonometria
A área de um círculo de raio $r$ é:
Geometria e Trigonometria
Pelo teorema de Pitágoras, num triângulo retângulo de catetos $a$, $b$ e hipotenusa $c$: $a^2 + b^2 =$
Geometria e Trigonometria
Quanto vale $\tan 45^\circ$?
Geometria e Trigonometria
A área de um triângulo de base $b$ e altura $h$ é:
Geometria e Trigonometria
A identidade fundamental da trigonometria é $\sin^2\theta + \cos^2\theta =$
Geometria e Trigonometria
O volume de uma esfera de raio $r$ é:
Notação científica
A notação científica de $0{,}00045$ é:
Matrizes
O determinante da matriz $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ é:
Números notáveis
A razão áurea $\phi$ vale aproximadamente:
Números notáveis
O número de Euler $e$ vale aproximadamente: