MatemáticaENEM 2023Nível 3
O triângulo da figura é denominado triângulo mágico. Nos círculos, escrevem-se os números de 1 a 6, sem repetição, com um número em cada círculo. O objetivo é distribuir os números de forma que as somas dos números em cada lado do triângulo sejam iguais.
Considere que os números colocados nos vértices do triângulo estejam em progressão aritmética de razão igual a 2.
Nas condições propostas, quais as possíveis soluções para as somas dos números que formam os lados do triângulo?
Fonte: ENEM 2023 · questão 148 · INEP.
AHá somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7.
BHá somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9.
CHá somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7 e outra em que as somas são iguais a 9.
DHá somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9 e outra em que as somas são iguais a 12.
EHá somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 10 e outra em que as somas são iguais a 11.✓ correta
Resposta correta: alternativa E
💡 Explicação
Com os números de 1 a 6, os vértices em PA de razão 2 só podem ser $\{1, 3, 5\}$ ou $\{2, 4, 6\}$. Um truque útil: somando os três lados, cada vértice conta duas vezes, então $3S = 2 \cdot (\text{soma dos vértices}) + (\text{soma dos meios})$. Com vértices $\{1,3,5\}$: $3S = 2 \cdot 9 + 12 = 30$, logo $S = 10$ (e de fato funciona: 1+6+3, 3+2+5, 5+4+1). Com vértices $\{2,4,6\}$: $3S = 2 \cdot 12 + 9 = 33$, logo $S = 11$ (2+5+4, 4+1+6, 6+3+2). Assim há exatamente duas soluções, com somas 10 e 11.Questão enviada por Marcelo Merreles ao banco público do Canetinha.