Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores numéricos. Para isso, são consideradas as operações triângulo Δ e estrela &lowast;, definidas sobre o conjunto dos números reais por xΔy = x² + xy − y² e x &

Question

Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores numéricos. Para isso, são consideradas as operações triângulo Δ e estrela ∗, definidas sobre o conjunto dos números reais por xΔy = x² + xy − y² e x ∗ y = xy + x.

O navio que deseja enviar uma mensagem deve fornecer um valor de entrada b, que irá gerar um valor de saída, a ser enviado ao navio receptor, dado pela soma das duas maiores soluções da equação (aΔb) ∗ (bΔa) = 0. Cada valor possível de entrada e saída representa uma mensagem diferente já conhecida pelos dois navios.

Um navio deseja enviar ao outro a mensagem “ATENÇÃO!”. Para isso, deve utilizar o valor de entrada b = 1.

Dessa forma, o valor recebido pelo navio receptor será

Fonte: ENEM 2021 · questão 162 · INEP.

Accepted Answer

E) (3 + √5) / 2. Com $b=1$, temos $a\Delta 1 = a^2+a-1$ e $1\Delta a = 1+a-a^2$. Aplicando a operação estrela: $(a\Delta 1)*(1\Delta a) = (a^2+a-1)(1+a-a^2) + (a^2+a-1) = (a^2+a-1)(2+a-a^2) = 0$. Do primeiro fator vem $a = \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$ e do segundo vem $a=2$ e $a=-1$; as duas maiores soluções são $2$ e $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$, cuja soma é $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$, confirmando a alternativa E.

ENEM 2021 — Matemática

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