Um designer de jogos planeja um jogo que faz uso de um tabuleiro de dimensão n × n, com n ≥ 2, no qual cada jogador, na sua vez, coloca uma peça sobre uma das casas vazias do tabuleiro. Quando uma peça é posicionada, a região formada pelas casas que estão na mesma linha ou coluna

Question

Um designer de jogos planeja um jogo que faz uso de um tabuleiro de dimensão n × n, com n ≥ 2, no qual cada jogador, na sua vez, coloca uma peça sobre uma das casas vazias do tabuleiro. Quando uma peça é posicionada, a região formada pelas casas que estão na mesma linha ou coluna dessa peça é chamada de zona de combate dessa peça. Na figura está ilustrada a zona de combate de uma peça colocada em uma das casas de um tabuleiro de dimensão 8 × 8. O tabuleiro deve ser dimensionado de forma que a probabilidade de se posicionar a segunda peça aleatoriamente, seguindo a regra do jogo, e esta ficar sobre a zona de combate da primeira, seja inferior a 1/5. A dimensão mínima que o designer deve adotar para esse tabuleiro é Fonte: ENEM 2018 · questão 154 · INEP.

Accepted Answer

D) 10 × 10.. Num tabuleiro $n 	imes n$, a zona de combate da primeira peça tem a linha e a coluna dela: $2n - 1$ casas, das quais $2n - 2$ estão vazias. Como restam $n^2 - 1$ casas livres para a segunda peça, a probabilidade é $\frac{2n-2}{n^2-1} = \frac{2(n-1)}{(n-1)(n+1)} = \frac{2}{n+1}$. Queremos $\frac{2}{n+1} 10$, ou seja, $n > 9$; o menor inteiro possível é $n = 10$, logo o tabuleiro mínimo é 10 × 10.

ENEM 2018 — Matemática

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