MatemáticaENEM 2018Nível 3
A figura mostra uma praça circular que contém um chafariz em seu centro e, em seu entorno, um passeio. Os círculos que definem a praça e o chafariz são concêntricos.
O passeio terá seu piso revestido com ladrilhos. Sem condições de calcular os raios, pois o chafariz está cheio, um engenheiro fez a seguinte medição: esticou uma trena tangente ao chafariz, medindo a distância entre dois pontos A e B, conforme a figura. Com isso, obteve a medida do segmento de reta AB: 16 m.
Dispondo apenas dessa medida, o engenheiro calculou corretamente a medida da área do passeio, em metro quadrado.
A medida encontrada pelo engenheiro foi
Fonte: ENEM 2018 · questão 153 · INEP.
A4π
B8π
C48π
D64π✓ correta
E192π
Resposta correta: alternativa D
💡 Explicação
Chamando de $R$ o raio da praça e $r$ o do chafariz, a área do passeio (coroa circular) é $\pi(R^2 - r^2)$. A trena forma uma corda da praça tangente ao chafariz: o raio do chafariz até o ponto de tangência é perpendicular à corda e a divide ao meio, criando um triângulo retângulo em que $R^2 = r^2 + 8^2$ (metade de 16 m). Daí $R^2 - r^2 = 64$, e a área do passeio vale $64\pi$ m² — perceba que nem foi preciso conhecer os raios individualmente, só a diferença dos quadrados.Questão enviada por Marcelo Merreles ao banco público do Canetinha.