MatemáticaENEM 2016Nível 3
Sob a orientação de um mestre de obras, João e Pedro trabalharam na reforma de um edifício. João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares 1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente, de três em três andares. Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras informou, em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da execução da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro.
Qual é o número de andares desse edifício?
Fonte: ENEM 2016 · questão 162 · INEP.
A40
B60
C100
D115✓ correta
E120
Resposta correta: alternativa D
💡 Explicação
João passa pelos andares ímpares (1, 3, 5, ...) e Pedro pelos andares da forma 1, 4, 7, ... (de 3 em 3). Os andares onde os DOIS trabalharam são os comuns às duas sequências: como João anda de 2 em 2 e Pedro de 3 em 3, os encontros acontecem de 6 em 6 andares (pois $mmc(2,3)=6$): 1, 7, 13, 19, ... Como houve exatamente 20 encontros, o último andar é o 20º termo dessa PA: $a_{20} = 1 + 19 \cdot 6 = 115$. E 115 realmente serve como último andar dos dois: é ímpar (João termina nele) e $115 = 1 + 38 \cdot 3$ (Pedro também).Questão enviada por Marcelo Merreles ao banco público do Canetinha.