Uma competição esportiva envolveu 20 equipes com 10 atletas cada. Uma denúncia à organização dizia que um dos atletas havia utilizado substância proibida. Os organizadores, então, decidiram fazer um exame antidoping . Foram propostos três modos diferentes para escolher os atletas

Question

Uma competição esportiva envolveu 20 equipes com 10 atletas cada. Uma denúncia à organização dizia que um dos atletas havia utilizado substância proibida. Os organizadores, então, decidiram fazer um exame antidoping. Foram propostos três modos diferentes para escolher os atletas que irão realizá-lo:

Modo I: sortear três atletas dentre todos os participantes;

Modo II: sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas;

Modo III: sortear primeiro três equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três equipes.

Considere que todos os atletas têm igual probabilidade de serem sorteados e que P(I), P(II) e P(III) sejam as probabilidades de o atleta que utilizou a substância proibida seja um dos escolhidos para o exame no caso do sorteio ser feito pelo modo I, II ou III.

Comparando-se essas probabilidades, obtém-se

Fonte: ENEM 2015 · questão 179 · INEP.

Accepted Answer

E) P(I) = P(II) = P(III). Nos três modos, a chance de o atleta dopado ser escolhido é a mesma: como são 200 atletas e 3 vagas no exame, no Modo I ele tem $\frac{3}{200}$. No Modo II, sua equipe precisa ser sorteada ($\frac{1}{20}$) e ele estar entre os 3 da equipe ($\frac{3}{10}$): $\frac{1}{20}\cdot\frac{3}{10} = \frac{3}{200}$. No Modo III, sua equipe deve estar entre as 3 sorteadas ($\frac{3}{20}$) e ele ser o escolhido dela ($\frac{1}{10}$): $\frac{3}{20}\cdot\frac{1}{10} = \frac{3}{200}$. Ou seja, P(I) = P(II) = P(III) — mudar o jeito de sortear não muda a chance individual quando tudo é equiprovável.

ENEM 2015 — Matemática

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