MatemáticaENEM 2014Nível 3
Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão 2x · 5y · 7z, na qual x, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7.
O número de divisores de N, diferentes de N, é
Fonte: ENEM 2014 · questão 165 · INEP.
Ax · y · z
B(x + 1) · (y + 1)
Cx · y · z − 1
D(x + 1) · (y + 1) · z
E(x + 1) · (y + 1) · (z + 1) − 1✓ correta
Resposta correta: alternativa E
💡 Explicação
Existe uma regra prática: se $N = 2^x \cdot 5^y \cdot 7^z$, o total de divisores de $N$ é $(x+1)(y+1)(z+1)$ — somamos 1 a cada expoente e multiplicamos, pois cada divisor é uma combinação de potências de cada fator primo (incluindo a potência zero). Como a questão pede os divisores diferentes do próprio $N$, tiramos 1 do total, chegando a $(x+1)(y+1)(z+1)-1$. As informações de que $N$ é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7 apenas garantem que $x\ge 1$, $y\ge 1$ e $z=0$, mas a fórmula geral continua sendo a da alternativa E.Questão enviada por Marcelo Merreles ao banco público do Canetinha.