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ENEM 2013 — Matemática

MatemáticaENEM 2013Nível 3

Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta corrente pela internet.

Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres.

Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo.

O coeficiente de melhora da alteração recomendada é

Fonte: ENEM 2013 · questão 158 · INEP.

A62⁶ / 10⁶✓ correta
B62! / 10!
C(62! · 4!) / (10! · 56!)
D62! − 10!
E62⁶ − 10⁶
Resposta correta: alternativa A
💡 Explicação
Em cada um dos 6 dígitos da senha antiga cabem 10 símbolos (algarismos 0 a 9), então há $10^6$ senhas possíveis pelo princípio multiplicativo. No novo sistema, cada posição aceita 10 algarismos + 26 letras minúsculas + 26 maiúsculas = 62 símbolos, dando $62^6$ senhas. O coeficiente de melhora é a razão entre o novo e o antigo: $\frac{62^6}{10^6}$. As alternativas com fatorial (!) confundem esse problema com permutação, mas aqui os símbolos podem se repetir livremente.
Questão enviada por Marcelo Merreles ao banco público do Canetinha.
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