Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros. A

Question

figura da questão

Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros.

A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P = (-5, 5), localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km.

Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seria automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto

Fonte: ENEM 2011 · questão 150 · INEP.

Accepted Answer

B) (−3, 1).. A estação precisa cumprir duas condições: estar sobre a linha do metrô (a reta $y = x + 4$) e ficar a no máximo 5 km do hospital em P(−5, 5). Testando as alternativas na equação da reta, só B(−3, 1), D(0, 4) e E(2, 6) pertencem a ela — A e C nem estão no trajeto. Calculando a distância até P pela fórmula $d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$: para B, $d = \sqrt{(-3+5)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{20} \approx 4{,}5$ km, dentro do limite; já D dá $\sqrt{26} \approx 5{,}1$ km e E dá $\sqrt{50} \approx 7{,}1$ km, ambas longe demais. Portanto a estação prevista é a do ponto (−3, 1).

ENEM 2011 — Matemática

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